第02讲：《向量的数量积、向量积与混合积》内容小结、课件与典型例题与练习

一、两向量的数量积及其应用

1．向量的数量积

向量, 的数量积为

其中为向量与之夹角，规定 .

2．向量的数量积运算规律

(1) 交换律：

(2) 结合律：

(3) 分配律：

(4)  (模的计算转换为数量积)

3．两向量的夹角

两非零向量与的夹角余弦计算公式为

由此可推得柯西-施瓦茨不等式：

4．两向量垂直位置关系的判定

【注】：零向量与任何向量垂直.

5．数量积的物理应用

常力拉物体沿位移所做的功 为：

二、两向量的向量积及其应用

1．向量积的定义

两向量, 的向量积定义

【注】:两向量的数量积为一个数量，而两向量的向量积为一个向量．

关于向量的向量积，有：

(1) 与分别垂直；

(2) 与服从右手法则(将两向量平移到同一起点，四个手指指向向量 ，以不超过180度转向到向量 ，则大拇指方向为向量积方向)；

(3) ，其中 为向量间的夹角．

2．向量积的运算律

(1) 反交换律：

(2)  

(3) 结合律：

其中 为实数

(4) 分配律：

3．向量积的几何应用

【注】：零向量与任何向量平行.

4．向量积的物理应用

设为一根杠杆的支点，有一个力作用于这杠杆上点处，则力对支点的力矩为

三、向量的混合积及其应用

1．向量的混合积

设有三个向量

则称向量为向量的混合积，记作，并有

根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足轮换性，即

2．混合积的几何应用

(1) 共面存在不全零的数 ，使得.

(2) 空间四点共面

(3) 以为棱的四面体体积为：

(4) 以为棱的平行六面体体积为：

四、三向量的外积

1．二重外积公式

对任意向量，有

该公式也称为三向量的双重向量积.

2．双重向量积的几何关系

参考课件

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